微积分试卷及答案4套

微积分试题 (A卷)

一. 填空题 (每空2分,共20分)

1. 已知limf(x)A,则对于0，总存在δ>0，使得当

x1时，恒有│ƒ(x)─A│< ε。

an2bn52，则a = ，b 2. 已知limn3n2= 。 3. 若当xx0时，与 是等价无穷小量，则limxx0 。 4. 若f (x)在点x = a处连续，则limf(x) 。

xa5. f(x)ln(arcsinx)的连续区间是 。

6. 设函数y =ƒ(x)在x0点可导，则limh0f(x03h)f(x0)______________。

h7. 曲线y = x2＋2x－5上点M处的切线斜率为6，则点M的坐标为 。 8. d(xf(x)dx) 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为R24Q2Q，CQ5，则当利润最大时产

量Q是 。 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)

1. 若数列{xn}在a的邻域（a-,a+）内有无穷多个点，则（ ）。

(A) 数列{xn}必有极限，但不一定等于a (B) 数列{xn}极限存在，且一定等于a

(C) 数列{xn}的极限不一定存在 (D) 数列{xn}的极限一定不存在 2. 设f(x)arctg221则x1为函数f(x)的（ ）。 x1 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点

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(D) 连续点 3. lim(1x13x1。 )（ ）

x (A) 1 (B) ∞ (C)

e2 (D) e3

4. 对需求函数Qep5，需求价格弹性Edp。当价格p（ ）时，5需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10

5. 假设limf(x)0,xx0xx0limg(x)0；f(x),g(x)在点x0的某邻域内(x0可以除外)

存在，又a是常数，则下列结论正确的是（ ）。 (A) 若limxx0f(x)f(x)a或，则lima或

xx0g(x)g(x)f(x)f(x)a或，则lima或 (B) 若limxx0g(x)xx0g(x)(C) 若limxx0f(x)f(x)不存在，则lim不存在

xx0g(x)g(x)(D) 以上都不对

6. 曲线f(x)xaxbxa的拐点个数是（ ） 。

322(A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 7. 曲线y4x1（ ）。 2(x2)(A) 只有水平渐近线； (B) 只有垂直渐近线； (C) 没有渐近线； (D) 既有水平渐近线，

y 又有垂直渐近线

8. 假设f(x)连续，其导函数图形如右图所示，则f(x)具有( ) (A) 两个极大值一个极小值 (B) 两个极小值一个极大值 (C) 两个极大值两个极小值 (D) 三个极大值一个极小值

9. 若ƒ(x)的导函数是x，则ƒ(x)有一个原函数为 ( ) 。

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2o x

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(A) lnx； (B) lnx； (C) x(D) x 三．计算题(共36分)

31；

1． 求极限limx01x1x （6分）

x1x2． 求极限lim(lnx) （6分）

xsin2xx3． 设f(x)a1xsinbx分) 4． 设exyx0x0，求a,b的值，使f(x)在(-∞，+∞)上连续。(6x0xy1，求y及yx0（6分）

5． 求不定积分xe2xdx（6分）

6． 求不定积分

4x2dx.（6分）

1的几何性质，求渐近线，并作图。(14分)

1x21五．设f(x)在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，且f(0)f(1)0,f()1，试证：

21(1) 至少存在一点(,1)，使f()；

2(2) 至少存在一点(0,)，使f()1；

四．利用导数知识列表分析函数y(3) 对任意实数 ，必存在x0(0,)，使得f(x0)[f(x0)x0]1。(12分)

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微积分试卷 (B)

一. 填空题 (每空2分,共20分)

1. 数列{xn}有界是数列{xn}收敛的 条件。 2.

若

ysinx2，则

dy 。

3. 函数y间断点。 4. 若limx,x0是第 类间断点，且为 tanxaxb3，则a = ，b = 。

x1x15. 在积分曲线族

2xdx中，过点（0，1）的曲线方程

是 。 6. 函数

f(x)x在区间[1,1]上罗尔定理不成立的原因

是 。 7. 已知F(x)x0etdt，则F(x) 。

P，则当p = 6时的需求价格弹性为28. 某商品的需求函数为Q12EQ 。 EP二. 单项选择题 (每小题2分,共12分) 1. 若limxx03，则lim（ ）。

xx0(A) –2 (B) 0 (C)

12 (D) 332. 在x1处连续但不可导的函数是（ ）。

12(A) y (B) yx1 (C)yln(x1)

x12(D)y(x1)

3. 在区间（-1，1）内，关于函数f(x)1x2不正确的叙述为（ ）。 ．．．(A)

连

续

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(B) 有界

(C) 有最大值，且有最小值 (D) 有最大值，但无最小值

4. 当x0时，sin2x是关于x的（ ）。

(A) 同阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 等价无穷小

55. 曲线yxx3在区间（ ）内是凹弧 。

(A) (,0) (B) (0,) (D) 以上都不对

6. 函数ex与ex满足关系式（ ）。

(A) exex (B) exex (D) exex

三．计算题(每小题7分,共42分)

7． 求极限limx(ex1)x01cosx。

8． 求极限lim2nsinx2n（x为不等于0的常数）。 n

1x2x9． 求极限limxx 。

10． 已知y1xey，求yx0及yx0。

11． 求不定积分

sinxxdx。

12． 求不定积分xln(x1)dx。

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(C) (,) (C) exex 第 6 页 共 14 页

四．已知函数y定义域 x1，填表并描绘函数图形。 (14分) 2x y 单调增区间 极值点 凹区间 拐 点 图形：

y 单调减区间 极 值 凸区间 渐近线

五．证明题(每小题6分,共12分)

1. 设偶函数f(x)具有连续的二阶导函数，且f(x)0。证明：x0为f(x)的极值点。

2. 就k的不同取值情况，确定方程xsinxk在开区间（0,

2）内根的个数，并证明你2的结论。

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《微积分》试卷（C卷）

一、单项选择题（每小题3分，共18分）

x2; x11. 设函数fx在x1处可导，则（ ）

axb;x1 A. a0,b1 B. a2,b1 C. a3,b2 D.a1,b2 2. 已知fx在x0的某邻域内连续，且f00,limfx2，则在x0处

x01cosxfx满足（ ）

A. 不可导 B. 可导 C. 取极大值 D. 取极小值 3. 若广义积分

 dxxlnxk 2收敛，则（ ）

A. k1 B. k1 C. k1 D. k1 4. limex11x1()

A． 0 B. C.不存在 D.以上都不对 5. 当x0时，1cosx是关于x的（ ）.

A．同阶无穷小. B．低阶无穷小. C．高阶无穷小. D．等价无穷小. 6.函数f(x)具有下列特征：f(0)1,f(0)0，当x0时，f(x)0,f(x)则f(x)的图形为（ ）。 y y y y 20,x0

0,x01 o o 1 o 1 o 1 x x x x (A) (B) (C) (D)

二、填空（每小题3分，共18分）

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1.

sinx 。 limxx2.

111x2dx 。

3. 已知f(x0)存在，则

limh0(n)f(x0h)f(x0h) 。

h(x) 。

4．设yln(x1)，那么yd0t25．edt 。

dxx26．某商品的需求函数Q75P，则在P＝4时，需求价格弹性为P4 ，收入对价格的弹性是

2EREP 。

P4三、计算（前四小题每题5分，后四小题每题6共44分） 1．

limxx0arctantdtx12x2

1x2． lim

xx 3． 4． 5．求由6．已知

7．求由曲线yx与x1,y0所围成的平面图形绕x轴旋转形成的旋转体的体积。

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3e1xlnxdx

dxx(1x6)

y x 0etdtcostdt0所决定的隐函数yyx的导数

0dy. dxsinx是f(x)的原函数，求xf(x)dx。 x第 9 页 共 14 页

8．求曲线yx与直线ykx1所围平面图形的面积，问k为何时，该面积最小？

2x2四、(A类12分) 列表分析函数y函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出

1x函数图形。

解：(1) 函数的定义域D:(,1)(1,)，无对称性；

x22x(2) y0,得x12,x20 2(1x)y(2x2)(1x)22(x22x)(1x)1x4x y' y\" y (-∞，-2) ＋ － ↗,∩ 2 3(1x)(3) 列表：

-2 0 － （-2，-1） （-1，0） － － － ＋ ↘,∪ 0 0 ＋ 极小值0 (0,+∞) ＋ ＋ ↗,∪ 极大值-4 ↘,∩ (4) 垂直渐近线：x1；斜渐近线：yx1 (5) 绘图，描几个点(2,4),(0,0),(1,),(2,)

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y 1243o x

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(B类12分)列表分析函数yln(1x)函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出函数图形。

解： ⑴ 函数定义域D:(-∞，+∞)，偶函数关于Y轴对称； ⑵ y y22x0,得x0

1x2

2(1x2)2x2x1x222(1x)(1x)0,得x11,x21 22(1x) y 1 ＋ 0 拐点 (1,+∞) ＋ － ↗,∩ o x

⑶ 列表：(只讨论（0,+∞）部分)

x 0 (0,1)

y' 0 ＋

y\" ＋ ＋

y 极小值 ↗,∪

极小值f (0) = 0；拐点（1,ln2） ⑷ 该函数无渐近线；

⑸ 绘图，描几个点：（0，0），（-1，ln2），（1，ln2）

五、（B类8分） 设fx连续，证明：

 uftdtdu xxufudu

 0 0 0证明：令

xF(x)xu00xf(t)dt G(x)(xu)f(u)du 只需证明F(x)G(x)（3分）

0x F(x)f(t)dt

0 G(x)xxx0f(u)duuf(u)du

0x0xG(x)f(u)duxf(x)xf(x)f(u)du

0所以F(x)G(x) （8分） （A类8分）设f(x)在[a, b]上连续在(a ,b)内可导且f(x)0

1xF(x)f(t)dt,x(a,b)xaa

试证（1）F(x)在(a ,b)内单调递减

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(2) 0F(x)f(x)f(a)f(b) 证（1）

F(x)(xa)f(x)f(t)dt(xa)a2x积分中值定理(xa)f(x)f(ξ)(xa) 2（a,x）(xa)f(x)f(ξ)xa由f(x)0知f(x)单调减,即在(a ,b)内当x时有f(x)f()又(xa)0可得

F(x)0.即F(x)在(a ,b)内单调减.

(2)因F(x)f(x)1xf(t)dtf(x)axa

积分中值定理f(ξ）f(x)0又由f(x)单调减 知,f(a)f()f(x)f(b)于是有

0F(x)f(x)f(a)f(b)

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《微积分》试卷（D卷）

一、单项选择题（每小题3分，共18分）

x2; x11. 设函数fx在x1处可导，则（ ）

axb;x1 A. a0,b1 B. a2,b1 C. a3,b2 D.a1,b2

2. 当x0时，1cosx是关于x的（ ）.

A．同阶无穷小. B．低阶无穷小. C．高阶无穷小. D．等价无穷小. 3. 若广义积分

2 dxxlnxk 2收敛，则（ ）

A. k1 B. k1 C. k1 D. k1 4. limex11x1()

A． 0 B. C.不存在 D.以上都不对

5.函数f(x)具有下列特征：f(0)1,f(0)0，当x0时，f(x)0,f(x)则f(x)的图形为（ ）。 y y y y 0,x0

0,x01 o o 1 o 1 o 1 x x x x (A) (B) (C) (D)

6. 6.设f(x)在

(,)内二阶可导，若f(x)f(x)，且在(0,)内有

f(x)0,f(x)0,则f(x)在(,0)内有（ ）

A.

f(x)0,f(x)0, B.f(x)0,f(x)0,

f(x)0,f(x)0.

C.f(x)0,f(x)0, D.

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二、填空（每小题3分，共18分）

1.

sinx 。 limxx2x1x2． lim= 。

xx3. 已知f(x0)存在，则

limh0(n)f(x0h)f(x0h) 。

h(x) 。

4．设yln(x1)，那么yd0t25．edt 。

dxx26．某商品的需求函数Q75P，则在P＝4时，需求价格弹性为P4 ，收入对价格的弹性是

2EREP 。

P4三、计算（前四小题每题5分，后四小题每题6共44分） 1．

limxx0arctantdtx12

2． 3． 4．

401dx

1sinxe1xlnxdx

dxx(1x6)

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5．求由6．已知

 y 0etdtcostdt0所决定的隐函数yyx的导数

0 xdy. dxsinx是f(x)的原函数，求xf(x)dx。 x27．求由曲线yx1与直线yx1所围成的平面图形的面积。

8．求由曲线yx与x1,y0所围成的平面图形绕x轴旋转形成的旋转体的体积。

四、(12分)列表分析函数yln(1x)函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出函数图形。

五、（B类8分） 设fx连续，证明：

23 uftdtdu xxufudu  0 0 0

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