已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)是f(x)的导函数,且xf'(x)-f(x...

发布网友 发布时间：2024-10-23 23:01

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热心网友 时间：2024-10-31 17:36

,F'(x) =[ f'(x)*x - f(x)]/x^2 > 0
所以F(x)是增函数,即有单调增区间是(0,+无穷)
f(x)=lnx-ax^2
f'(x)=1/x-2ax
xf'(x)-f(x)=1-2ax^2-lnx+ax^2=1-ax^2-lnx>0在(0,+OO)内恒成立
设g(x)=1-ax^2-lnx
g'(x)=2ax-1/x=(2ax^2-1)/x
(1)a<=0时有g'(x)<0,此时g(x)单调减.不可能在(0,+OO)内恒大于0,故舍
(2)a>0,令g'(x)=0,解得x=根号(1/2a)
在(0,根号(1/2a))上,g'(x)<0,函数单调减,在(根号(1/2a),+oo)上,g'(x)>0,单调增
故函数g(x)在x= 根号1/2a时有极小值,即有g(根号1/2a)>0即可.
1-a×1/(2a)-ln根号1/(2a)>0
1/2>1/2ln(1/2a)
ln(1/2a)<1
1/2a<e
2a>1/e
a>1/(2e)
即范围是a>1/(2e).

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热心网友 时间：2024-10-31 17:30

,F'(x) =[ f'(x)*x - f(x)]/x^2 > 0
所以F(x)是增函数,即有单调增区间是(0,+无穷)
f(x)=lnx-ax^2
f'(x)=1/x-2ax
xf'(x)-f(x)=1-2ax^2-lnx+ax^2=1-ax^2-lnx>0在(0,+OO)内恒成立
设g(x)=1-ax^2-lnx
g'(x)=2ax-1/x=(2ax^2-1)/x
(1)a<=0时有g'(x)<0,此时g(x)单调减.不可能在(0,+OO)内恒大于0,故舍
(2)a>0,令g'(x)=0,解得x=根号(1/2a)
在(0,根号(1/2a))上,g'(x)<0,函数单调减,在(根号(1/2a),+oo)上,g'(x)>0,单调增
故函数g(x)在x= 根号1/2a时有极小值,即有g(根号1/2a)>0即可.
1-a×1/(2a)-ln根号1/(2a)>0
1/2>1/2ln(1/2a)
ln(1/2a)<1
1/2a<e
2a>1/e
a>1/(2e)
即范围是a>1/(2e).

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